Colloque - Géométries aléatoires et applications - Yilin Wang : The Brownian Loop Measure on Riemann Surfaces and Applications to Length Spectra
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2024-2025Colloque - Géométries aléatoires et applications - Yilin Wang : The Brownian Loop Measure on Riemann Surfaces and Applications to Length SpectraIntervenant :Yilin WangIHESRésuméThe goal of this talk is to showcase how we can use stochastic processes to study the geometry of surfaces. More precisely, we use the Brownian loop measure to express the lengths of closed geodesics on a hyperbolic surface and zeta-regularized determinant of the Laplace-Beltrami operator. This gives a tool to study the length spectra of a hyperbolic surface and we obtain a new identity between the length spectrum of a compact surface and that of the same surface with an arbitrary number of additional cusps. This is a joint work with Yuhao Xue (IHES).
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Colloque - Géométries aléatoires et applications - Jérémie Bouttier : Sur l'énumération des cartes à bords géodésiques On the Enumeration of Maps with Geodesic Boundaries
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2024-2025Colloque - Géométries aléatoires et applications - Jérémie Bouttier : Sur l'énumération des cartes à bords géodésiques On the Enumeration of Maps with Geodesic BoundariesIntervenant :Jérémie BouttierSorbonne UniversitéRésuméLes cartes combinatoires sont des surfaces discrètes obtenues par recollement de polygones. Les premiers résultats d'énumération les concernant ont été obtenus par Tutte dans les années 1960. Au cours des années 1980-90, elles ont été très étudiées en physique théorique (sous divers vocables : diagrammes planaires, graphes-ruban...) en raison de leurs liens avec la gravité quantique bidimensionnelle et les modèles de matrices. Enfin, depuis les années 2000, de nouvelles approches combinatoires et probabilistes ont conduit à d'importants développements. Après avoir donné un aperçu de cette longue histoire, j'évoquerai quelques résultats obtenus en collaboration avec Emmanuel Guitter et Grégory Miermont, sur l'énumération des cartes à bords géodésiques. Ceux-ci suggèrent une analogie avec la géométrie hyperbolique, déjà observée dans d'autres contextes, dont notamment la récurrence topologique. Nous aimerions parvenir à une explication « bijective » de cette analogie.
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Colloque - Géométries aléatoires et applications - Thierry Lévy : Volume de l'espace des modules de connexions plates, d'après Witten Volume of the Moduli Space of Flat Connections, After Witten
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2024-2025Colloque - Géométries aléatoires et applications - Thierry Lévy : Volume de l'espace des modules de connexions plates, d'après Witten Volume of the Moduli Space of Flat Connections, After WittenIntervenant :Thierry LévySorbonne UniversitéRésuméDans cet exposé, je présenterai la manière dont Witten a calculé, au début des années 1990, le volume symplectique de l'espace des modules de connexions plates sur un fibré principal au-dessus d'une surface compacte sans bord. L'idée principale de Witten était d'approcher la mesure de Liouville sur l'espace des connexions plates par une mesure sur l'espace de toutes les connexions (modulo tranformations de jauge), la mesure de Yang—Mills non normalisée, dont il est "facile" de calculer le volume, en tout cas à un certain niveau heuristique.
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Colloque - Géométries aléatoires et applications - Bertrand Eynard : Les géometries aléatoires dans le miroir de la géometrie algébrique Random Geometry in the Mirror of Algebraic Geometry
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2024-2025Colloque - Géométries aléatoires et applications - Bertrand Eynard : Les géometries aléatoires dans le miroir de la géometrie algébrique Random Geometry in the Mirror of Algebraic GeometryIntervenant :Bertrand EynardCEA SaclayRésuméLa géométrie aléatoire consiste à calculer des espérances et probabilités sur des objets géométriques aléatoires, typiquement des surfaces (surfaces hyperboliques, surfaces discrètes, surfaces immergées dans un espace cible, ou portant certains champs, etc.)Fait remarquable, les fonctions génératrices comptant les surfaces de topologie fixée sont souvent des fonctions algébriques. De plus, il existe une récurrence universelle appelée récurrence topologique, qui relie l'énumération des surfaces de genre g avec n bords à celle des disques (g=0,n=1) : « si vous savez énumérer les disques, la récurrence topologique vous dit comment énumérer toutes les topologies. »La fonction génératrice des disques est appelée la courbe spectrale. Cette observation permet de reformuler le problème d'énumération dans le langage de la géométrie algébrique : une fois la courbe spectrale spécifiée, toutes les autres fonctions génératrices peuvent être dérivées.Ce cadre peut également être interprété à travers le prisme de la symétrie miroir. Dans cette perspective, un problème d'énumération est le « miroir » d'une courbe algébrique, et les calculs d'énumération se traduisent en calculs d'analyse complexe sur cette courbe.
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Colloque - Géométries aléatoires et applications - Adrien Sauvaget : Constantes de Siegel-Veech des surfaces de translation
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2024-2025Colloque - Géométries aléatoires et applications - Adrien Sauvaget : Constantes de Siegel-Veech des surfaces de translationIntervenant :Adrien SauvagetCNRS, Université Cergy-PontoiseRésuméUne surface de translation est une surface de Riemann munie d'une différentielle holomorphe. Cette différentielle définit une métrique plate (hors du lieu singulier) dont l'holonomie est triviale. J'expliquerai comment le comptage de géodésique longues sur une surface de translation générique a été permis par l'étude des espaces des modules associés. Ces résultats mêlent des arguments de théorie ergodique, de théorie des représentations et de géométrie algébrique.
La géométrie spectrale est le domaine des mathématiques qui vise à faire le lien entre la géométrie d'un objet et son spectre de vibration. Le domaine a connu une première naissance dans les années 1910, quand les précurseurs de la mécanique quantique ont cherché à calculer le spectre des atomes à partir de considérations géométriques sur le modèle planétaire. La question s'est ensuite muée en l'étude du spectre d'opérateurs de Schrödinger, en lien avec la géométrie symplectique dans l'espace des phases de la mécanique classique.La seconde naissance du domaine remonte aux années 1960 avec le théorème de l'indice, qui donne des relations entre certains « indices topologiques » (par exemple la caractéristique d'Euler d'un espace topologique) et le bas du spectre d'un opérateur elliptique (comme l'opérateur de Laplace). Ce domaine connaît actuellement une activité intense du côté de la physique, avec la découverte du rôle de la notion d'« indice » dans la description des matériaux topologiques.Parmi les grandes questions de la géométrie spectrale, citons :Le chaos quantique : c'est l'étude du spectre d'un opérateur de Schrödinger, quand le système hamiltonien qui lui correspond en mécanique classique est chaotique ;Les problèmes inverses : que peut-on deviner de la géométrie d'un objet à partir de la mesure de son spectre de vibration ?Le lien entre spectre et topologie, via divers avatars du théorème de l'indice ;Le spectre de systèmes désordonnés ou d'objets géométriques aléatoires ;Le lien entre géométrie et contrôle des ondes : quels sont les meilleurs endroits où se placer pour « diriger » une onde ?Le cours sera tourné vers les aspects mathématiques de ces questions, mais certaines années le séminaire sera l'occasion d'entendre des physiciens présenter leurs travaux en lien avec le cours.
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